Per poter fare uno studio completo bisogna trovare i seguenti valori:
1) Il dominio di una funzione serve a trovare i punti in cui una funzione non esiste e varia dal tipo di funzione.
Se la funzione è una radice pari allora il numero all’interno della radice deve essere maggiore o uguale a 0:
Quindi il dominio di questa funzione sarà:
Nel caso di un logaritmo basta porre l’interno del logaritmo maggiore di 0:
Nel caso di una frazione il denominatore deve essere diverso da zero.
2) La simmetria di una funzione indica se il valore y della funzione è uguale sia nel primo che nell’asse x positiva che nell’asse x negativa (in questo caso la funzione è pari) oppure se la funzione nell’asse x negative è completamente opposta a quella sull’asse x positive (in questo caso la funzione è dispari) oppure se le x negative sono completamente differenti dalle x positive (in questo caso la funzione non è né pari né dispari)
3) L’intersezione con l’asse x indica in quali punti la funzione interseca l’asse x e si calcola ponendo la funzione uguale a 0 (perché il punto di intersezione con l’asse x sarà un punto con coordinata y nulla).
Prendiamo per esempio una parabola:
Intersezioni con l’asse x:
La funzione dunque non interseca l’asse x in nessun punto perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste nell’insieme dei numeri reali.
4) L’intersezione con l’asse y si calcola ponendo le x della funzione uguali a 0 (perché un punto di intersezione con l’asse y avrà coordinata x nulla).
Per esempio consideriamo la seguente funzione:
Ponendo x = 0 ricaviamo la coordinata y di intersezione:
Quindi il punto di intersezione sarà P = (0,3).
5) Lo studio dei limiti serve successivamente per trovare gli asintoti e si esegue facendo i limiti della funzione per x che tende al dominio e per x che tende a più e meno infinito.
6) Gli asintoti sono rette che non intersecano mai la funzione e sono di due tipi:
Costante, cioè che è rappresentato da una retta costante di equazione
y = k
IL valore k si può ricavare direttamente dallo studio del dominio e dallo studio dei limiti .
Se il limite di x che tende al dominio della funzione dà come risultato un numero diverso da infinito c’è un asintoto.
Asintoto obliquo, anche questo asintoto si ottiene dallo studio dei limiti, in particolare se viene soddisfatto questo limite:
In cui k è un numero finito.
Dopo avere fatto questa verifica si può procedere per trovare le incognite dell’equazione dell’asintoto obliquo:
Il coefficiente m si trova facendo il seguente limite:
Dopo aver trovato m si procede trovando q in questo modo:
Infine si assemblano i vari pezzi formando l’equazione dell’asintoto obliquo.
7) Calcolo della derivata prima e seconda della funzione.
8) Calcolo dei massimi e dei minimi della funzione che sono valori che non hanno tutte le funzioni, ad esempio una retta non ha un massimo perché continua a crescere fino all’infinito.
I massimi e i minimi di una funzione si possono trovare facendo lo studio del segno della derivata prima e seconda come viene mostrato dettagliatamente in questo video: https://youtu.be/S-YRDlnSAeI