Il prodotto vettoriale e il prodotto scalare sono due tipi di prodotti tra due vettori. L'unica differenza è che il primo è un terzo vettore mentre il secondo è uno scalare (cioè un numero).
Prodotto scalare:
$ \vec{A}\cdot \vec{B}=|A|\cdot |B|\cdot cos(ß) $
Dove ß è l'angolo che si crea tra il primo vettore e il secondo.
Il prodotto vettoriale è possibile solamente in 3 dimensioni dato che il vettore risultante deve essere perpendicolare agli altri due. Questo vettore risultante ha modulo
$ \vec{C}=|A|\cdot |B| \cdot sin(ß)$
Mentre le sue componenti si trovano svolgendo il determinante di una matrice in x,y,z del prodotto dei due vettori
$ A\cdot B=\left[\begin{matrix}A_x \\ A_y \\ A_z\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}B_x \\ B_y \\ B_z\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}x & y & z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z\end{matrix}\right]$
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Facendo il determinante della matrice otteniamo l'equazione del vettore risultante del prodotto vettoriale, il cui verso e direzione si possono ricavare tramite la regola della mano destra
$C=(A_yB_z-A_zB_y)x+$
$+(A_zB_x-A_xB_z)y+(A_xB_y-A_yB_x)z$
- Esercizio 1
Calcola il prodotto scalare dei due vettori a e b di modulo, rispettivamente, 3 e 4. - Esercizio 2
Calcola il prodotto scalare dei due vettori u e v che formano tra loro un angolo di 45° e di equazione$ \vec{u}=(3,-2) $
$ \vec{v}=(4,0) $
- Esercizio 3
Calcola il modulo del prodotto vettoriale dei seguenti vettori:$ \vec{A}=(3,4) $
$ \vec{B}=(1,2) $
- Esercizio 4
Calcola il modulo del prodotto vettoriale di due vettori u e v che formano tra loro un angolo di 60° e di equazione$ \vec{u}=(5,-3) $
$ \vec{v}=(2,4) $
- Esercizio 5
TRE DIMENSIONI:
Calcola modulo, direzione e verso del vettore risultante del prodotto vettoriale dei vettori p e q$ \vec{p}=(-1,2,3) $
$ \vec{q}=(2,-1,4) $
I due vettori formano tra loro un angolo di 60° e il primo forma con l'asse x un angolo di 30°