Per poter risolvere questo esercizio dobbiamo ricavare dopo quanto tempo la velocità raggiunge 1/4 del valore massimo e sostituirlo nella formula dello spostamento per calcolare la posizione in cui la velocità è 1/4 della velocità massima.
VELOCITA' MASSIMA
Per prima cosa dobbiamo capire per quale valore la velocità della molla è massima. Dalla legge oraria del moto armonico abbiamo
$v_{max}=-Rωsin(ωt)$
La funzione seno può avere valori solo da -1 a 1. Quindi la velocità è massima quando il seno vale -1 (in questo modo i due segni meno si cancellano)
$v_{max}=-Rω\cdot (-1)=Rω$
La velocità angolare, o pulsazione, la ricaviamo dalla formula della molla
$ω=\sqrt{\frac{k}{m}}=25,8 rad/s$
R è la massima compressione dal punto di riposo e vale $R=0,12 m$. Sostituendo ω e R nella formula della velocità massima otteniamo
$v_{max}=3,1 m/s$
RICAVARE IL TEMPO
Per poter calcolare il tempo impiegato dalla molla per raggiungere 1/4 della velocità della molla dobbiamo utilizzare la legge oraria del moto armonico per la velocità
$v=-Rωsin(ωt)$
La velocità è 1/4 della velocità massima
$\frac{1}{4}v_{max}=-Rωsin(ωt)$
$\frac{1}{4}Rω=-Rωsin(ωt)$
Da questa equazione ricaviamo il seno
$sin(ωt)=-\frac{1}{4}$
per ricavare il tempo dobbiamo applicare la funzione inversa del seno
$ωt=arcsin(\frac{1}{4})$
$t=\frac{1}{ω}arcsin(\frac{1}{4})=0,01 s$
RICAVARE LA POSIZIONE
Per calcolare la posizione basta sostituire il tempo che abbiamo appena ricavato nella legge oraria del moto
$x=Rcos(ωt)=0,12 m$