Le due sfere non ruotano al loro centro di massa ma attorno al centro della sbarra, quindi il loro momento di inerzia va calcolato usando il teorema di Huygens-Steiner.
$I=I_{CM}+md^2$
Le due sfere hanno massa omogenea quindi il loro centro di massa corrisponde al centro geometrico. Consideriamo il momento di inerzia di uno delle due sfere: la distanza tra il centro di massa della sfera e il centro della sbarra è uguale a metà della lunghezza della sbarra più il raggio della sfera
$d=\frac{l}{2}+R$
Sostituendo questa distanza nella formula del momento di inerzia di una sfera otteniamo (sostituendo la massa con la massa della sfera $M$)
$I_{sfera}=I_{CM}+M(\frac{l}{2}+R)^2$
Nel caso di una sfera singola, il momento di inerzia del centro di massa è semplicemente il momento di inerzia della sfera la cui formula è scritta nella tabella nella pagina degli esercizi.
$I=\frac{2}{5}MR^2$
Quindi il momento di inerzia della sfera ruotante diventa:
$I_{sfera}=\frac{2}{5}MR^2+M(\frac{l}{2}+R)^2$
Come riportato dal problema, il sistema di corpi ruota intorno al centro di massa della sbarra. Quindi sulla sbarra non va applicato il teorema di Huygens-Steiner dato che il suo momento di inerzia si può facilmente calcolare tramite la formula tabellata
$I_{sbarra}=\frac{1}{12}ml^2$
MOMENTO DI INERZIA TOTALE
Il sistema è composto da tre corpi: una sbarra e due sfere di massa e raggio uguale. Quindi il momento di inerzia è la somma di tutti i momenti di inerzia dei corpi
$I_{tot}=I_{sfera_1}+I_{sfera_2}+I_{sbarra}$
Siccome le due sfere hanno stessa massa, stesso raggio e stessa distanza dal centro di massa della sbarra hanno anche stesso momento di inerzia, quindi la loro somma può essere riscritta in questo modo:
$I_{tot}=2I_{sfera}+I_{sbarra}$
Sostituendo il momento di inerzia della sfera e quello della sbarra con i risultati ottenuti precedentemente otteniamo:
$I_{tot}=2(\frac{2}{5}MR^2+M(\frac{l}{2}+R)^2)+\frac{1}{12}ml^2$