Da come si può intuire dal testo, il moto del disco è un moto di tipo decelerato con velocità inziale $v=1o$ $m/s$ che diminuisce nel tempo a causa della gravità fino a fermarsi e a cadere dal piano.
Per risolvere questo problema dobbiamo mescolare il secondo principio della dinamica con i momenti.
SOMMA DELLE FORZE
Dal secondo principio della dinamica sappiamo che la somma di tutte le forze è il prodotto tra massa e accelerazione.
$F_{tot}=ma$
Questa equazione la possiamo dividere per le forze sull'asse X e le forze sull'asse Y
$F_{tot_x}=ma_x
$F_{tot_y}=ma_y$
Il disco si muove solo sull'asse X (cioè il piano inclinato) quindi la sua accelerazione sull'asse Y è 0
$F_{tot_x}=ma_x
$F_{tot_y}=0$
Le forze sull'asse Y sono la reazione vincolare ($N$) e la componente Y del peso ($P_y$) mentre sull'asse X le forze agenti sono la componente X ($P_x$)del peso e una forza che chiamiamo ($F_R$) che indica la forza con cui il disco è stato messo in moto rotatorio.
$P_x-F_R=ma_x$
$N-P_y=0$
Abbiamo scelto come positive le forze verso l'alto o verso destra e negative quelle verso il basso o verso sinistra.
L'equilibrio sull'asse Y non ci da nessuna informazione importante per risolvere il problema, quindi consideriamo solamente l'equazione dell'asse X
$P_x-F_R=ma_x$
Calcoliamo la componente del peso
$mgsin(45°)-F_R=ma_x$
L'accelerazione si trova solo sull'asse X, quindi possiamo sostituire $a_x$ semplicemente con $a$
$mgsin(45°)-F_R=ma$
SOMMA DEI MOMENTI
Sappiamo che la somma dei momenti è il prodotto tra il momento di inerzia del disco e l'accelerazione angolare
$M=Iα$
Ma il momento è anche uguale al prodotto tra la forza che causa la rotazione e la distanza. Ma in questo caso la forza che causa la rotazione è la forza che avevamo indicato con $F_R$ nella domanda precedente e la distanza tra il punto di applicazione di questa forza e il centro del disco è semplicemente il raggio
$rF_R=Iα$
Sostituendo il momento di inerzia con la formula del disco otteniamo:
$rF_R=\frac{1}{2}mr^2α$
Semplifichiamo ad entrambi i membri il raggio $r$
$F_R=\frac{1}{2}mrα$
Inoltre l'accelerazione angolare la possiamo sostituire con il rapporto tra accelerazione tangenziale e raggio
$α=\frac{a}{r}$
Quindi l'equazione della forza diventa:
$F_R=\frac{1}{2}mr\frac{a}{r}=\frac{1}{2}ma$
SISTEMA DI EQUAZIONI
Prendiamo l'equazione delle forze sull'asse Y e l'equazione dei momenti
$mgsin(45°)-F_R=ma$
$F_R=\frac{1}{2}ma$
Prendiamo la formula della forza $F_R$ e la sostituiamo nella prima equazione
$mgsin(45°)-\frac{1}{2}ma=ma$
Da questa equazione ricaviamo l'accelerazione
$\frac{3}{2}ma=mgsin(45°)$
$a=\frac{2}{3}gsin(45°)=4,62$ $m/s^2$
Conoscendo l'accelerazione possiamo calcolare il tempo totale usando la legge oraria del moto rettilineo accelerato
$v=v_i+at$
Dove la velocità finale è 0 perché alla fine il disco si ferma a causa della gravità. La velocità iniziale invece la conosciamo ed è $v_i=5$ $m/s$
$0=v_i+at$
La velocità del disco diminuisce nel tempo, quindi l'accelerazione $a$ deve avere segno meno perché indica una decelerazione
$0=v_i-at$
Da questa equazione ricaviamo il tempo necessario per arrivare al punto più alto del piano inclinato
$at=v_i$
$t=\frac{v_i}{a}=1,08s$