Il cappello si trova in assenza di attrito quindi possiamo scrivere la conservazione del lavoro
$L=0$
Quindi la somma di energia cinetica ed energia potenziale è uguale a 0
$ΔE+ΔU=0$
Le variazioni di energia le possiamo scrivere come differenza tra energia finale ed energia inziale
$E_f-E_i+U_f-U_i=0$
Il corpo si trova in aria e cade per via della forza di gravità, quindi l'energia potenziale in questione è:
$U=mgh$
Mentre l'energia cinetica è:
$E=\frac{1}{2}mv^2$
Sostituendo queste formule nella conservazione del lavoro, l'equazione diventa
$\frac{1}{2}mv_{f}^2-\frac{1}{2}mv_{i}^2+mgh_f-mgh_i=0$
Nel nostro sistema di riferimento, il cappello parte da un altezza iniziale uguale a 0, quindi l'energia potenziale iniziale è nulla
$\frac{1}{2}mv_{f}^2-\frac{1}{2}mv_{i}^2+mgh_f=0$
Inoltre il cappello quando raggiunge la massima altezza si ferma per un'istante. Questo avviene perché in quel punto la sua energia cinetica si converte in energia potenziale per poi cadere a terra.
Siccome la velocità finale del cappello è uguale a 0, è nulla anche l'energia cinetica finale
$-\frac{1}{2}mv_{i}^2+mgh_f=0$
Da questa formula possiamo ricavare l'altezza massima raggiunta dal cappello
$mgh_f=\frac{1}{2}mv_{i}^2$
$h_f=\frac{mv_{i}^2}{2mg}=3,14m$