Per prima cosa, convertiamo il raggio terrestre in metri
$r=6378km=6.378.000m$
In questo problema viene chiesto il periodo di rivoluzione del satellite, quindi stiamo considerando un moto circolare in cui la forza gravitazionale è la forza che spinge il satellite verso il centro.
Per poter rimanere in equilibrio e continuare a ruotare senza cadere sulla Terra per effetto della gravità c'è bisogno di un'altra forza che abbia la stessa intensità della forza gravitazionale ma verso opposto, nel caso di un moto circolare quella forza è la forza centrifuga
$F_c=rm_sω^2$
Quindi questa forza deve essere uguale e contraria alla forza gravitazionale
$rm_sω^2=G\frac{m_s\cdot m_t}{r^2}$
Dove $m_s$ e $m_t$ sono la massa del satellite e della terra. Siccome la massa del satellite compare in entrambi i lati dell'equazione, possiamo semplificarlo
$rω^2=G\frac{m_t}{r^2}$
La velocità angolare è il rapporto tra 2π e il periodo
$ω=\frac{2π}{T}$
Sostituendo nell'equazione otteniamo:
$r\frac{4π^2}{T^2}=G\frac{m_t}{r^2}$
Da questa equazione possiamo ricavare il periodo $T$ moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per $T^2$
$4π^2r=G\frac{m_t}{r^2}T^2$
$T^2=4π^2r\cdot \frac{r^2}{Gm_t}=\frac{4π^2r^3}{Gm_t}$
Infine applicando la radice quadrata ad entrambi i lati dell'equazione otteniamo $T$
$T=\sqrt{\frac{4π^2r^3}{Gm_t}}=2π\sqrt{\frac{r^3}{Gm_t}}$
Nel problema veniva chiesto il valore di $T$ nel caso $r$ fosse stato un raggio terrestre o due volte il raggio terrestre. La distanza $r$ è misurata come la distanza tra il satellite e il centro della terra. Quindi quando la distanza tra il satellite e la terra è un raggio terrestre la distanza tra i due centri è 2 raggi terrestri e quando la distanza è 2 raggi terrestri la distanza tra i due centri è 3 raggi terrestri
$T(r_t)=2π\sqrt{\frac{(2r_{t})^3}{Gm_t}}=14230s=3,96h$
$T(2r_t)=2π\sqrt{\frac{(3r_{t})^3}{Gm_t}}=26200s=7,28h$