Forza gravitazionale - esercizi

I corpi dotati di massa sono attratti tra di loro per la forza di gravità. La legge di Newton afferma che l'intensità di questa forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i due corpi e direttamente proporzionale al prodotto delle due masse

$F_{G} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

Dove G è la costante di gravitazione universale

$G = 6, 674 \cdot 10^{- 11} N m^{2} / k g^{2}$

In pratica la legge di Newton afferma che la forza di gravità aumenta se i due corpi si avvicinano tra di loro e dipende dalla massa di quest'ultimi.

Inoltre se consideriamo un'orbita quasi sferica di un pianeta o satellite di massa $m_{1}$ , possiamo approssimare la forza di gravità alla forza centripeta

$r m_{1} ω^{2} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

$r ω^{2} = G \frac{m_{2}}{r^{2}}$

Dove ω è la velocità angolare del pianeta o satellite in rotazione $m_{2}$ la massa del corpo attorno al quale orbita

ACCELERAZIONE GRAVITAZIONALE

Se consideriamo un corpo di massa $m$ che cade su un pianeta di massa $M$ con accelerazione $a$ , la somma di tutte le forze che agiscono su di esso è dato dal secondo principio della dinamica

$F = m a$

Se sul corpo non agiscono altre forze oltre la forza gravitazionale, possiamo uguagliarla al secondo principio della dinamica

$F_{G} = G \frac{m M}{r^{2}} = m a$

$F_{G} = G \frac{M}{r^{2}} = a$

Questa accelerazione che abbiamo appena ricavato è l'accelerazione del corpo che cade sul pianeta di massa $M$ dove $r$ rappresenta il raggio del pianeta. Quindi l'accelerazione che abbiamo calcolato è l'accelerazione gravitazionale del pianeta (sulla terra vale $9, 81$ $m / s^{2}$ )

Esercizio 1

Ti trovi ad una distanza $r = 14.000 k m$ dal satellite Cerere di massa $m_{c} = 8, 7 \cdot 10^{20} k g$ . Quanto vale la forza gravitazionale tra te e Cerere?
(P.s: puoi usare un valore approssimato per la tua massa)

Esercizio 2

Nella fase di luna Nuova la Terra, la Luna e il Sole sono allineati come in figura. Determina la forza gravitazionale totale agente su ognuno di loro

Esercizio 3

Tre corpi di massa equivalente $m = 6, 75 k g$ sono posti ai vertici di un triangolo equilatero. Se il lato del triangolo è $l = 1, 25 m$ determina:

a) La forza gravitazionale risultante su ognuno dei tre corpi

b) La forza gravitazionale risultante se il lato del triangolo raddoppia

Esercizio 4

L'accelerazione gravitazionale della Luna è circa $1 / 6$ di quella terrestre e il suo raggio è circa $1 / 4$ quello terrestre. Esprimi la massa della Luna in funzione della massa terrestre

Esercizio 5

Un satellite artificiale sta orbitando attorno alla Terra e lentamente si allontana da quest'ultima. Calcola il periodo dell'orbita del satellite quando la distanza dal centro della terra è pari a 1 raggio terrestre e a 2 raggi terrestri.
(Il raggio della Terra è $r_{T} = 6378 k m$ e la sua massa è $m_{T} = 5, 97 \cdot 10^{24} k g$ )

Esercizio 6

La distanza media tra i centri della Terra e della Luna è $d = 3, 84 \cdot 10^{8} m$ . Sapendo che la massa della Terra è $m_{T} = 5, 97 \cdot 10^{24} k g$ e la massa della Luna è $m_{L} = 7, 35 \cdot 10^{22} k g$ determina il punto tra i due corpi in cui l'accelerazione gravitazionale è nulla

Esercizio 7

Il pianeta Ida 243 possiede una propria luna chiamata Dactyl. Quanto vale la massa di Ida 243 sapendo che la distanza tra i centri dei due corpi celesti è $d = 89 k m$ e il periodo di rivoluzione di Dactyl è $T = 19 h$ ?