Il tensore energia-impulso che descrive la distribuzione della massa e dell’energia all’interno del fluido (all’esterno il tensore vale 0) e viene definito in relatività ristretta in questo modo:
In cui p è la pressione e ρ la densità di energia
Come abbiamo mostrato in trasformare la relatività ristretta in relatività generale il tensore, in presenza di gravità diventa il seguente:
Inoltre in relatività ristretta vale la legge di continuità
Che in relatività generale diventa una derivata covariante (ciò non implica una conservazione)
Quindi, applicando la definizione di derivata covariante, otteniamo
Siccome in relatività ristretta il tensore si conserva il primo termine è uguale a 0
Dall’equazione ricavata in tensore metrico e connessione affine possiamo sostituire la seconda delta dell’equazione in questo modo:
Siccome il tensore metrico è una matrice possiamo usare la seguente regola per le matrici
Quindi possiamo riscrivere la connessione affine così considerando il determinante come -g (perché il determinante del tensore metrico risulta negativo):
Mettendo questa connessione affine nell’equazione ottenuta dalla derivata covariante del tensore energia-impulso ottenendo:
