Nelle equazioni di secondo grado i termini devono essere tutti dal lato sinistro dell'equazione in questo modo:
$ax^2+bx+c=0$
In modo tale da poter ricavare le due x usando la formula risolutiva:
$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
- Esercizio 1
$x^2-4x+1=0$
- Esercizio 2
$7x^2-3x-5=0$
- Esercizio 3
$(x-1)^2=4x$
- Esercizio 4
$x^2+(x-2)(x+2)=2(1-x^2)$
- Esercizio 5
$(2x-1)(x+5)-2x^2+x(x-4)=7-x$
- Esercizio 6
$\frac{(x-3)(2x+1)}{6}-(x+3)^2=\frac{2x+3}{12}-\frac{x-1}{2}$
- Esercizio 7
$\frac{x}{x+5}+\frac{2x}{x-5}=-\frac{4x^2}{x^2-25}$
RISULTATI
1)
Questa equazione è già ordinata dove
$a=1, b=-4, c=1$
Quindi, utilizzando la formula risolutiva, otteniamo:
$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(1)}}{2(1)}$
$x=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}$
$\sqrt{12}$ si può scomporre come $\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}$, quindi i due risultati sono
$x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$
$x=2-\sqrt{3}$
2)
In questo esercizio abbiamo che
$a=7, b=-3, c=-5$
$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4(7)(-5)}}{2\cdot 7}$
Svolgendo i calcoli, otteniamo i due risultati
$x=\frac{3+ \sqrt{149}}{14}$
$x=\frac{3- \sqrt{149}}{14}$
3)
Per prima cosa sviluppiamo il quadrato
$x^2-2x+1=4x$
Ora spostiamo $4x$ dal lato di sinistra ottenendo
$x^2-6x+1=0$
Abbiamo che
$a=1, b=-6, c=1$
$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4(1)(1)}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{32}}{2}$
$32$ si può scomporre come $2^5$, in questo modo la radice diventa $2^2\sqrt{2}$
Il risultato diventa
$x=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}=3+2\sqrt{2}$
$x=3-2\sqrt{2}$
4)
Svolgiamo i prodotti, utilizzando anche i prodotti notevoli per semplificare i calcoli
$x^2+x^2-4=2-2x^2$
Spostiamo tutti i termini dal lato di sinistra
$4x^2-4=0$
Questa equazione non contiene il termine b e può essere risolta in una maniera più semplice. Spostiamo il termine numerico dal lato di destra
$4x^2=4$
$x^2=1$
A questo punto per risolvere basta fare più o meno la radice quadrata di 1
$x=\pm \sqrt(1)=\pm 1$
Il più o meno va messo perché anche $-1$ è una soluzione dell'equazione dato che $(-1)^2=1$
5)
Svolgiamo i prodotti
$2x^2+10x-x-5-2x^2+x^2-4x=7-x$
$x^2+5x-5=7-x$
Ora spostiamo tutto al lato sinistro
$x^2+6x-12=0$
Otteniamo un equazione di secondo grado dove
$a=1, b=6, c=-12$
Quindi
$x=\frac{-6\pm \sqrt{36-4(1)(-12)}}{2}$
$x=\frac{-6\pm \sqrt{84}}{2}$
$\sqrt{84}$ si può scomporre come $\sqrt{4\cdot 21}$. In questo modo otteniamo i due risultati dell'equazione
$x=\frac{-6+2\sqrt{21}}{2}=-3+\sqrt{21}$
$x=-3-\sqrt{21}$
6)
Visto che ci sono delle frazioni, facciamo i minimi comuni multipli a destra e a sinistra dell'equazione
$\frac{(x-3)(2x+1)-6(x+3)^2}{6}=\frac{2x+3-6(x-1)}{12} $
Ora svolgiamo i prodotti e semplifichiamo
$\frac{2x^2+x-6x-3-6x^2-54-36x}{6}=\frac{2x+3-6x+1}{12}$
$\frac{-4x^2-41x-57}{6}=\frac{-4x+4}{12}$
Per poter togliere le frazioni basta moltiplicare tutti e due i lati dell'equazione per il minimo comune multiplo (rìtra 6 e il 12 l'm.c.m è 12)
$12\cdot \frac{-4x^2-41x-57}{6}=2\cdot \frac{-4x+4}{12}$
$2(-4x^2-41x-57)=-4x+4$
$-8x^2-82x-114=-4x+4$
Spostiamo tutti i termini dal lato sinistro cambiandoli di segno (regola del trasporto)
$-8x^2+78x-118=0$
Ora applichiamo la formula risolutiva sapendo che $a=-8, b=78, c=-118$
$x=\frac{-78\pm \sqrt{78^2-4(-8)(-118)}}{-16}=-\frac{-78\pm \sqrt{5140}}{16}$
7)
Uniamo le due frazioni moltiplicando tra loro i due denominatori
$\frac{x(x-5)+2x(x+5)}{(x-5)(x+5)}=-\frac{4x^2}{x^2-25}$
Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo
$\frac{x^2-5x+2x^2+10x}{(x-5)(x+5)}=\frac{4x^2}{x^2-25}$
$\frac{3x^2+5x}{(x-5)(x+5)}=-\frac{4x^2}{x^2-25} $
Ora svolgiamo il prodotto al denominatore del termine di sinistra (il calcolo si può semplificare con i prodotti notevoli)
$\frac{3x^2+5x}{x^2-25}=-\frac{4x^2}{x^2-25}$
Visto che i due denominatori sono uguali, si possono semplificare
$3x^2+5x=-4x^2$
Spostiamo tutti i termini a sinistra
$7x^2+5x=0$
Siccome questa equazione non ha il termine $c$ la possiamo risolvere in un modo più semplice: portiamo la x a destra dell'uguale
$7x^2=-5x$
A questo punto uno dei due risultati di $x$ è $x=0$ perché $7\cdot 0=-5\cdot 0$. Ma c'è anche un secondo risultato che si ottiene dividendo entrambi per x
$\frac{7x^2}{x}=-\frac{5x}{x}$
$7x=-5$
$x=-\frac{5}{7}$
Quindi i due risultati di questa equazione sono
$x=0, x=-\frac{5}{7}$