Per poter risolvere le equazioni di primo grado bisogna sapere queste due regole dai principi di equivalenza:
- Regola del trasporto: nelle equazioni un termine numerico o letterale si può spostare dall'altro lato dell'uguale cambiando il segno
$x - 3 = 1$
Spostando il 3 diventa
$x=1+3=4$
- Regola del prodotto o divisione: nelle equazioni si possono moltiplicare o dividere tutti e due i lati per uno stesso termine
$3x = 6$
Dividendo tutti e due i lati per 3 otteniamo:
$\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$
$x = 2$
- Esercizio 1
$4x+3=x$
- Esercizio 2
$3x+5=4x-1$
- Esercizio 3
$(x+3)x=(x-3)(x+3)$
- Esercizio 4
$(x+4)^2-5x=x^2+3x-2$
- Esercizio 5
$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x^2-4}$
- Esercizio 6
$\frac{4x+7}{x-1}=\frac{12x+5}{3x+4}$
- Esercizio 7 (risolvere per x)
$a(x+2)=(2x-a)(a-1)$
- Esercizio 8 (risolvere per x)
$\frac{3x}{3-a}=\frac{a-x+2}{3a-a^2}-\frac{x}{a} $
RISULTATI
1)
$4x-x=-3$
$3x=-3$
$x=-1$
2)
$3x-4x=-1-5$
$-x=-6$
A questo punto abbiamo trovato la x negativa, per trovare x positiva basta cambiare il segno a tutti e due i termini
$x=6$
3)
Si svolgono le moltiplicazioni, utilizzando anche i prodotti notevoli nelle equazioni:
$x^2+3x=x^2-9$
Poi si spostano a sinistra tutte le x e a destra tutti i numeri
$x^2+3x-x^2=-9$
$3x=-9$
$x=-3$
4)
Per prima cosa si svolge il quadrato:
$x^2+8x+16-5x=x^2+3x-2$
Ora sposto tutti i termini con la x a sinistra e tutti i numeri a destra
$x^2+8x-3x-5x-x^2=-2-16$
$0x=-18$
A questo punto viene un risultato impossibile perché nessun numero moltiplicato per 0 da -18
5)
Prima troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori del lato sinistro che si trova moltiplicando i due denominatori
$M.C.M=(x+2)(x-2)=x^2-4$
In questo modo l'equazione diventa
$\frac{(x-1)(x-2)-x(x+2)}{x^2-4}=\frac{1}{x^2-4}$
A questo punto i denominatori sono uguali, quindi si possono semplificare moltiplicando tutti e due i lati per il denominatore
$(x^2-4)\frac{(x-1)(x-2)-x(x+2)}{x^2-4}=\frac{1}{x^2-4}(x^2-4)$
(x-1)(x-2)-x(x+2)=1
$x^2-2x-x+2-x^2-2x=1$
$-5x=1$
$x=-\frac{1}{5}$
6)
In questa equazione fratta non ci sono minimi comuni multipli da fare, quindi si procede con il prodotto incrociato. Cioè si moltiplica il lato di sinistra con il denominatore del primo e il lato di destra con il denominatore del primo
$(x-1)(3x+4)\cdot \frac{4x+7}{x-1}=\frac{12x+5}{3x+4}\cdot (3x+4)(x-1)$
$(3x+4)(4x+7)=(12x+5)(x-1)$
Si svolgono i prodotti
$12x^2+21x+16x+28=12x^2-12x+5x-5$
Si portano a sinistra le x e a destra i numeri
$12x^2-12x^2+21x+16x+12x-5x=-5-28$
$44x=-33$
$x=-\frac{33}{44}=-\frac{3}{4}$
7)
Si svolgono le moltiplicazioni
$ax+2a=2ax-2x-a^2+a$
Si portano a sinistra tutti i termini che contengono x e a sinistra quelli che non lo contengono
$ax-2ax+2x=-a^2+a-2a$
$-ax+2x=-a^2-a$
A questo punto si raccoglie x dal lato sinistro
$x(-a+2)=-a^2-a$
A questo punto si divide per il termine che moltiplica x ottenendo
$x=\frac{-a^2-a}{-a+2}$
L'equazione, però, risulta impossibile per $a=-2$ perché per quel valore il denominatore della frazione è 0.
8)
Per prima cosa raccolgliamo la $a$ al denominatore di destra
$\frac{a-x+2}{3a-a^2}=\frac{a-x+2}{a(3-a)} $
Ora facciamo il minimo comune multiplo al lato di destra ottenendo
$\frac{3x}{3-a}=\frac{a-x+2-x(3-a)}{a(3-a)}$
I denominatori delle due frazioni sono 0 per $a=0$ e $3-a=0$, queste sono le condizioni di esistenza.
Ora che abbiamo trovato le condizioni di esistenza possiamo fare il prodotto incrociato (come quello mostrato nell'esercizio 6).
$a(3-a)\cdot \frac{3x}{3-a}=\frac{a-x+2-x(3-a)}{a(3-a)}\cdot a(3-a)$
In questo modo diventa
$3ax=a-x+2-x(3-a)$
Ora svolgiamo i prodotti e semplifichiamo i termini simili
$3ax=a-x+2-3x+ax$
$2ax=a-4x+2$
Ora spostiamo da un lato tutti i termini con x e dall'altro tutti quelli senza
$2ax+4x=a+2$
Ora raccogliamo $2x$ dal lato di sinsitra che è in comune
$2x(a+2)=a+2$
Dividendo tutto per i termini che moltiplicano x otteniamo:
$x=\frac{a+2}{2(a+2)}$
$a+2$ presente sia al numeratore che al denominatore si può semplificare ponendo che $a+2$ sia diverso da 0 altrimenti il denominatore verrebbe 0.
Semplificando otteniamo infine:
$x=\frac{1}{2}$