Equazioni del moto di Heisenberg

Quando in un sistema fisico avviene un’evoluzione temporale o spaziale (cioè lo spazio ed il tempo cambiano) cambiano anche le grandezze fisiche che caratterizzano la particella in questione e ciò può avvenire in 2 modi:

• Gli operatori rimangono costanti e variano i ket di base
  
• Gli operatori variano e i ket di base rimangono costanti
  

In cui A è un operatore qualsiasi che agisce sul ket di base α

Nel primo caso l’operatore A è l’operatore di Heisenberg A_H  mentre nel secondo caso l’operatore A è l’operatore di Schroedinger A_S .

All’istante t = 0 i due operatori si equivalgono

Quindi possiamo aggiungere la funzione d’onda in questo modo (in cui  è l’inverso della funzione d’onda):

In questo modo possiamo calcolare l’andamento nel tempo applicando ambo i membri la derivata nella variabile tempo sapendo che l’operatore di Schroedinger non varia nel tempo)

Dall’equazione di Schroedinger possiamo ricavare la funzione d’onda

Otteniamo quindi

E, sostituendo nell’equazione per la derivata, otteniamo il seguente risultato:

 

Sapendo che a t = 0 i due operatori sono uguali possiamo sostituire l’operatore di Heisenberg all’interno dell’operatore di commutazione per ottenere l’equazione del moto di Heisenberg

Sostituiamo l’operatore di Heisenberg con l’operatore x che, applicato ad una funzione d’onda nello spazio delle x, diventa il seguente operatore:

Ottenendo quindi:

Usando il nostro metodo per come calcolare l’operatore di commutazione otteniamo la seguente equazione:

Dalle equazioni del moto di Heisenberg abbiamo ricavato le equazioni del moto dinamiche.