MASSA DEL PIANETA
Per ricavare l'equazione che descrive la massa del pianeta possiamo utilizzare il secondo principio della dinamica
$F=ma$
Dove la forza in questione è la forza di attrazione gravitazionale tra il satellite e il pianeta
$G\frac{mM}{r^2}=ma$
Semplifichiamo ad entrambi i lati dell'equazione la massa del satellite $m$
$G\frac{M}{r^2}=a$
Nel problema viene specificato che l'orbita è circolare, quindi l'accelerazione che tiene il satellite in orbita è proprio l'accelerazione centripeta
$a=rω^2$
Sostituendo nell'equazione otteniamo
$G\frac{M}{r^2}=rω^2$
La velocità angolare la possiamo scrivere come il rapporto tra 2π e il periodo del pianeta
$ω=\frac{2π}{T}$
$ω^2=\frac{4π^2}{T^2}$
Sostituendo questo dato, l'equazione diventa
$G\frac{M}{r^2}=r\frac{4π^2}{T^2}$
Da qui possiamo ricavare la massa del pianeta $M$
$M=\frac{4π^2r^3}{GT^2}$
ENERGIA DEL SATELLITE
L'energia del satellite in orbita è la somma tra energia cinetica ed energia potenziale (l'energia potenziale ha segno meno perché tende a far diminuire l'energia cinetica del satellite)
$E=\frac{1}{2}mv^2-G\frac{mM}{r}$
Come abbiamo visto prima, la forza gravitazionale è uguale alla forza centripeta
$G\frac{mM}{r^2}=rmω^2$
Sostituendo la velocità angolare come il rapporto tra velocità e raggio
$ω=\frac{v}{r}$
Otteniamo:
$G\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
$mv^2=G\frac{mM}{r}$
Moltiplicando entrambi i membri per 1/2 abbiamo ricavato u a formula alternativa per l'energia cinetica
$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}G\frac{mM}{r}$
Sostituendo nella formula dell'energia totale otteniamo:
$E=\frac{1}{2}G\frac{mM}{r}-G\frac{mM}{r}=-\frac{1}{2}G\frac{mM}{r}$
Sistemando i termini diventa:
$E=-G\frac{mM}{2r}$
Il risultato è che l'energia totale del satellite è negativa, questo significa che il satellite non è in grado di sfuggire all'attrazione gravitazionale del pianeta ed è legato a quest'ultimo