L'urto è completamente elastico con due incognite, quindi dobbiamo considerare la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica per ricavarle entrambe.
QUANTITA' DI MOTO
Per prima cosa dobbiamo calcolare le quantità di moto inziali e finali dei due corpi
La macchina parte da ferma, per cui la sua quantità di moto inziale è a velocità nulla
$p_{A_i}=m_A\cdot 0=0$
Mentre il furgone già in partenza era in movimento con velocità $v_{F_i}$ e quantità di moto data da
$p_{F_i}=m_Fv_{F_i}$
Quindi la quantità di moto totale inziale del sistema è la somma di queste due
$p_{tot_i}=0+m_Fv_{F_i}=m_Fv_{F_i}$
Alla fine invece i due corpi si muovono con velocità incognite $v_{A_f}$ e $v_{F,f}$ con cui possiamo scrivere le due quantità di moto finali
$p_{A_f}=m_Av_{A_f}$
$p_{F_f}=m_Fv_{F_f}$
Quindi la quantità di moto finale totale del sistema
$p_{tot_f}=m_Av_{A_f}+m_Fv_{F_f}$
Dalla conservazione della quantità di moto abbiamo che
$p_{tot_i}=p_{tot_f}$
Sostituendo con i valori ricavati
$m_Fv_{F_i}=m_Av_{A_f}+m_Fv_{F_f}$
Però per ricavare due incognite ci servono una serie di due equazioni, quindi ora dobbiamo ricavare anche la conservazione dell'energia cinetica.
CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA CINETICA
Le energie cinetiche inziali dei due corpi sono (ricordando che l'auto parte da ferma):
$E_{A_i}=\frac{1}{2}m_A\cdot 0=0$
$E_{F_i}=\frac{1}{2}m_Fv_{F_i}^2$
E le energie cinetiche finali
$E_{A_f}=\frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2$
$E_{F_f}=\frac{1}{2}m_Fv_{F_f}^2$
Facciamo le somme delle energia cinetiche inziali e le energie cinetiche finali
$E_{tot_i}=\frac{1}{2}m_Fv_{F_i}^2$
$E_{tot_f}=\frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2+\frac{1}{2}m_Fv_{F_f}^2$
Dalla conservazione dell'energia cinetica abbiamo che l'energia cinetica totale finale è uguale a quella totale inziale, quindi possiamo scrivere un uguaglianza tra le due energie
$\frac{1}{2}m_Fv_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2+\frac{1}{2}m_Fv_{F_f}^2$
Da qui in poi sono solo passaggi matematici
Per poter trovare le due variabili dobbiamo mettere a sistema la conservazione della quantità di moto e quella dell'energia cinetica che abbiamo appena ricavato
$m_Fv_{F_i}=m_Av_{A_f}+m_Fv_{F_f}$
$\frac{1}{2}m_Fv_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2+\frac{1}{2}m_Fv_{F_f}^2$
Dalla conservazione della quantità di moto (la prima equazione) ricaviamo una delle due velocità finali, per scelta ricaviamo la velocità finale del furgone $v_{F_f}$
$m_Fv_{F_f}=m_Fv_{F_i}-m_Av_{A_f}$
$v_{F_f}=\frac{m_Fv_{F_i}-m_Av_{A_f}}{m_F}$
E questa velocità la sostituiamo all'interno della conservazione dell'energia cinetica al posto della velocità finale del furgone
$\frac{1}{2}m_Fv_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2+\frac{1}{2}m_F\cdot (\frac{m_Fv_{F_i}-m_Av_{A_f}}{m_F})^2$
Le due masse del furgone al numeratore e al denominatore si semplificano
$\frac{1}{2}m_Fv_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{(m_Fv_{F_i}-m_Av_{A_f})^2}{m_F}$
Moltiplichiamo tutti i membri dell'equazione per $m_F$ per cancellare il denominatore
$\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Fm_Av_{A_f}^2+$
$\frac{1}{2}\cdot (m_Fv_{F_i}-m_Av_{A_f})^2$
Sviluppiamo il quadrato di binomio presente a destra dell'equazione
$\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Fm_Av_{A_f}^2+$
$\frac{1}{2}\cdot (m_{F}^2v_{F_i}^2+m_{A}^2v_{A_f}^2-2m_Fm_Av_{F}v_{A})$
Sviluppando i calcoli diventa
$\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2=\frac{1}{2}m_Fm_Av_{A_f}^2+$
$\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2+\frac{1}{2}m_{A}^2v_{A_f}^2-m_Fm_Av_{F}v_{A}$
Da qui raccogliamo tutti i termini che contengono $v_{A_f}^2$
$v_{A_f}^2(\frac{1}{2}m_Fm_A+\frac{1}{2}m_{A}^2) +\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2-m_Fm_Av_{F}v_{A}$
$=\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2$
Portiamo tutti i termini a sinistra dell'equazione e ordiniamo per $v_{A_F}$
$v_{A_f}^2(\frac{1}{2}m_Fm_A+\frac{1}{2}m_{A}^2) -m_Fm_Av_{F}v_{A}+\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2$
$-\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2=0$
Qua si può vedere che l'equazione per trovare $v_{A_f}$ è una equazione di secondo grado. Quindi dobbiamo risolverla con la formula risolutiva (considerando solamente la soluzione positiva con il + davanti al delta)
$v_{A_f}=\frac{m_Fm_Av_{F}+\sqrt{(m_Fm_Av_{F})^2-4(\frac{1}{2}m_Fm_A+\frac{1}{2}m_{A}^2)(\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2-\frac{1}{2}m_{F}^2v_{F_i}^2)}}{m_Fm_A+m_{A}^2}$
Svolgendo i calcoli otteniamo
$v_{A_f}=21,7m/s$
Sostituendo questa velocità nella formula che abbiamo utilizzato per sostituire la velocità finale del furgone
$v_{F_f}=\frac{m_Fv_{F_i}-m_Av_{A_f}}{m_F}$
Ottenendo
$v_{F_f}=6,25m/s$