Per risolvere questo problema dobbiamo utilizzare la conservazione del lavoro totale
$L_{tot}=0$
Quindi la somma di energia cinetica ed energia potenziale è uguale a 0
$ΔE_{tot}+ΔU=0$
L'energia cinetica totale è la somma tra energia cinetica rotazionale e traslazionale della sfera
$ΔE_T+ΔE_R+ΔU=0$
La differenza di energia potenziale è:
$ΔU=mgh_f-mgh_i$
Dove l'altezza iniziale è 0 perché la sfera parte dal punto più basso
$ΔU=mgh_f$
Inoltre quando la sfera raggiunge il punto più alto del piano inclinato si ferma per un istante. In quell'istante finale l'energia cinetica sia rotazionale che traslazionale è nulla
$ΔE_T=\frac{1}{2}mv_{f}^2-\frac{1}{2}mv_{i}^2=-\frac{1}{2}mv_{i}^2$
$ΔE-R=\frac{1}{2}Iω_{f}^2-\frac{1}{2}Iω_{i}^2=-\frac{1}{2}Iω_{i}^2$
Mettendo tutto insieme nell'equazione della conservazione del lavoro, otteniamo
$-\frac{1}{2}mv_{i}^2-\frac{1}{2}Iω_{i}^2+mgh_f=0$
Il momento di inerzia della sfera è $I=2/5\cdot mr^2$, sostituendo questo valore otteniamo:
$-\frac{1}{2}mv_{i}^2-\frac{1}{5}mr^2ω_{i}^2+mgh_f=0$
La sfera si muove al passo del suo moto di rotolamento, quindi la velocità angolare inziale e la velocità tangenziale inziale sono legate dalla formula:
$v_i=ω_ir$
Quindi la velocità angolare iniziale è:
$ω_i=\frac{v_i}{r}$
Sostituendo nella formula del lavoro otteniamo:
$-\frac{1}{2}mv_{i}^2-\frac{1}{5}mr^2\frac{v_{i}^2}{r^2}+mgh_f=0$
Semplificando i termini e dividendo l'equazione per $m$ otteniamo:
$-\frac{1}{2}v_{i}^2-\frac{1}{5}v_{i}^2+gh_f=0$
Da questa equazione possiamo ricavare l'altezza massima a cui arriva la sfera prima di fermarsi
$gh_f=\frac{1}{2}v_{i}^2+\frac{1}{5}v_{i}^2=\frac{7}{10}v_{i}^2$
$h_f=\frac{7}{10g}v_{i}^2=16m$