PRIMA DOMANDA
Per calcolare il centro di massa possiamo utilizzare la conservazione dell'energia scegliendo come istante inziale il punto più basso raggiunto dal corpo e come istante finale il punto più alto nella parte senza attrito
$E_{tot_i}=E_{tot_f}$
Siccome nel punto più basso non c'è energia potenziale, l'energia cinetica inziale corrisponde al lavoro totale nell'istante inziale
$E_{tot_i}=L_i$
Il lavoro è il prodotto tra la forza e lo spostamento
$L_i=FΔx$
In questo caso l'unica forza in gioco è la forza peso del cilindro mentre lo spostamento è dato dallo spostamento del centro di massa.
Quando il cilindro si trova nel punto più basso al centro, il centro di massa si trova precisamente al centro del cilindro, cioè all'altezza del raggio di $R/4$. Quindi lo spostamento del centro di massa è la differenza tra l'altezza iniziale del centro di massa e il raggio del cilindro
$Δx=\frac{R}{2}-\frac{R}{4}=\frac{R}{4}$
Quindi il lavoro iniziale diventa:
$L_i=mg\frac{R}{4}$
L'energia totale finale invece è data dalla somma di energia cinetica rotazionale ed energia cinetica traslazionale del cilindro
$E_{tot_f}=E_R+E_T$
$E_{tot_f}=\frac{1}{2}Iω^2+\frac{1}{2}mv^2$
Il cilindro si muove al passo con il suo moto di rotolamento. Quindi la velocità tangenziale si può ricavare dall'equazione del moto circolare:
$v=ωr$
Dove $r$ è il raggio del cilindro, ovvero $R/4$
$v^2=ω^2\frac{R^2}{16}$
Sostituendo nell'equazione dell'energia cinetica finale otteniamo:
$E_{tot_f}=\frac{1}{2}Iω^2+\frac{1}{32}mω^2R^2$
Dove il momento di inerzia del corpo ha la formula del momento di inerzia per i dischi (anche se il corpo in questione ha la forma di un cilindro, quando ruota assume la forma di un disco visto di lato)
$I=\frac{1}{2}mr^2$
Dove il raggio del cilindro è $R/4$
$I=\frac{1}{2}m\frac{R^2}{16}=\frac{1}{32}mR^2$
Sostituendo, la formula dell'energia diventa:
$E_{tot_f}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{32}mω^2R^2+\frac{1}{32}mω^2R^2$
Semplificando otteniamo:
$E_{tot_f}=\frac{1}{64}mω^2R^2+\frac{1}{32}mω^2R^2=\frac{3}{64}mω^2r^2$
Come avevamo detto all'inizio, per la conservazione dell'energia, l'energia cinetica finale è uguale all'energia inziale che abbiamo calcolato precedentemente
$mg\frac{R}{4}=\frac{3}{64}mω^2R^2$
Semplifichiamo entrambi i lati dell'equazione di $mR/4$
$g=\frac{1}{16}\cdot 3ω^2R^2$
Risolvendo questa equazione ricaviamo la velocità angolare del cilindro nel punto più alto privo di attrito:
$ω^2=\frac{16gR}{3R^2}$
$ω=\sqrt{\frac{16g}{3R}}=4\sqrt{\frac{g}{3R}}$
SECONDA DOMANDA
Quando il cilindro arriva nel punto più alto si ferma per un istante. In quell'istante tutta la sua energia cinetica traslazione viene convertita in energia potenziale prima di cadere.
Nella prima richiesta abbiamo calcolato la velocità angolare del punto più alto:
$ω=4\sqrt{\frac{g}{3R}}$
Sapendo che la velocità è il prodotto tra la velocità angolare e il raggio del cilindro otteniamo:
$v=ω\frac{R}{4}=R\sqrt{\frac{g}{3R}}$
Quindi l'energia cinetica traslazionale diventa:
$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\cdot (R\sqrt{\frac{g}{3R}})^2$
$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\cdot \frac{gR}{3}$
Come abbiamo detto prima, questo valore dell'energia cinetica traslazione è uguale all'energia potenziale data dal peso $U=mgh$
$\frac{1}{2}m\cdot \frac{gR}{3}=mgh$
Semplifichiamo i termini:
$\frac{1}{6}mgR=mgh$
Da questa equazione possiamo ricavare l'altezza raggiunta $h$ raggiunta dal cilindro nel punto più alto
$h=\frac{1}{6}R$