Calcolare la frequenza dell'eco percepita significa calcolare la frequenza percepita dell'onda sonora emessa dal cowboy che sbatte contro il muro e ritorna indietro (questo fenomeno si chiama riflessione)
Per risolvere problemi di questo tipo che riguardano l'eco, dobbiamo prima calcolare la frequenza dell'onda che arriva al muro e poi calcolare la frequenza che dal muro arriva al cowboy
FREQUENZA PERCEPITA DALLA PARETE
Per calcolare la frequenza delle onde che arrivano a sbattere contro la parete, dobbiamo usare la formula dell'effetto Doppler considerando la parete rocciosa come se fosse il ricevitore delle onde sonore
$f=f_0\cdot \frac{v-v_R}{v-v_S}$
Siccome la parete rocciosa è ferma, la velocità del ricevitore è nulla ($v_R=0$)
$f=f_0\cdot \frac{v}{v-v_S}$
$f_0$ è la frequenza con cui vengono emesse le onde sonore, quindi $f_0=440Hz$ mentre $v_S$ è la velocità della sorgente di onde sonore (cioè il cowboy) quindi $v_S=12$ $m/s$. Sostituendo i dati otteniamo la frequenza delle onde che arrivano al muro
$f=456Hz$
FREQUENZA PERCEPITA DAL COWBOY
Ora che abbiamo calcolato la frequenza delle onde che arrivano al muro dobbiamo calcolare la frequenza delle onde che dal muro arrivano al cowboy, quindi dobbiamo vedere il muro come una sorgente di onde sonore e il cowboy come ricevitore
$f=f_0\cdot \frac{v-v_R}{v-v_S}$
Siccome la parete è ferma, la velocità della sorgente è nulla ($v_S=0$)
$f=f_0\cdot \frac{v-v_R}{v}$
La frequenza $f_0$ è la frequenza emessa dalla parete che abbiamo calcolato prima ($f_0=456Hz$). Il cowboy si muove in direzione opposta rispetto alle onde sonore emesse, quindi la sua velocità va considerata negativa $v_R=-12$ $m/s$.
Sostituendo i dati all'interno della formula possiamo calcolare la frequenza dell'eco percepito dal cowboy
$f=456\cdot \frac{343-(-12)}{343}=472Hz$