Dilatazione dei tempi

La minima azione indica il percorso più breve tra due punti che, in uno spazio-tempo piatto, è data da una linea retta. In relatività generale lo spazio-tempo è incurvato quindi il percorso più breve diventa una linea curva perché ci si trova in uno spazio non euclideo

In uno spazio-tempo piatto il percorso minimo è una retta che si può ricavare dall’analisi matematica con il teorema di Pitagora

Ma in relatività generale la s diventa funzione del tensore metrico

In cui ds è il percorso secondo l’osservatore in presenza di gravità (sistema non inerziale) mentre dx è il percorso secondo l’osservatore in assenza di gravità (sistema inerziale).

Consideriamo solamente le componenti temporali (componenti 0) dell’equazione per trattare la dilatazione die tempi

Dalle approssimazioni della relatività generale abbiamo dimostrato che

Quindi possiamo riscrivere l’equazione in questo modo:

Siccome ds è una coordinata non inerziale abbiamo che, dividendolo per c, otteniamo il tempo secondo l’osservatore che si trova in un sistema di riferimento non inerziale

Applichiamo ambo i membri l’integrale e la radice quadrata per ottenere l’equazione finale