Questa media, però, molto imprecisa per funzioni complesse dato che considera solo un intervallo finito mentre le derivate calcolano la variazione infinitesima della funzione:
DIMOSTRAZIONE:
Consideriamo questo tipo di funzione:
Come abbiamo visto prima la derivata sarà la media della funzione delimitata dai due punti e x + h ottenendo:
Per poter avere una media infinitamente precisa dobbiamo considerare una parte infinitamente piccola della funzione applicando un limite.
In questo modo otteniamo la formula mostrata in precedenza (perché in un intervallo infinitamente piccolo x e x0 tendono sempre di più ad essere uguali e si possono cancellare al denominatore):
Prendiamo per esempio la funzione y = x2 la sua derivata sarà:
Sviluppiamo il quadrato di binomio
Cancelliamo i termini simili e raccogliamo h ottenendo:
Infine sostituiamo h con 0 ottenendo finalmente la derivata di y=x2
