I limiti sono uno strumento matematico utile per determinare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto x0 (cioè in un punti infinitamente vicini a x0, ma non esattamente in x0).
Come tali, sono spesso adoperati per capire cosa succede a una funzione agli estremi del suo dominio.
Ricordiamo che il dominio di una funzione è l'insieme più ampio nel quale può essere definita senza che perda di significato.
In generale, un asintoto è una qualsiasi retta alla quale la funzione si avvicina indefinitamente quando la variabile dipendente (x) si avvicina ad un determinato valore (x0), finito o infinito: l'equazione della retta varia a seconda del tipo di asintoto.
Un asintoto si dice da destra (o da sinistra) se, rispettivamente, il limite calcolato è destro (o sinistro).
Si presentano tre tipi di asintoto:
- verticale: retta del tipo x = a; si ottiene se vale almeno una delle seguenti condizioni:
ovvero se la funzione assume valori sempre più grandi in modulo quando x si avvicina ad a
- orizzontale: retta del tipo y = c; si ottiene se vale la seguente condizione:
ovvero se la funzione si avvicina al valore c quando x cresce in modulo
- obliquo: retta del tipo y = mx + q, m≠0; per verificare se è presente un asintoto obliquo, bisogna controllare che siano vere tutte e tre le seguenti condizioni:
- la funzione non abbia asintoto orizzontale per l'infinito che stiamo considerando (positivo o negativo), cioè calcolando il limite all'infinito, esso venga infinito;
con m numero reale;
con q numero reale.
Se tutte e tre queste ipotesi valgono, allora l'asintoto sarà la retta y=mx+q.
