Per far sì che la carica 3 si trovi in equilibrio la forza repulsiva generata con la carica 1 deve essere uguale alla forza generata con la carica 2
$F_{1,3}=F_{2,3}$
Sostituendo le due forze con la formula della forza di Coulomb otteniamo:
$\frac{Kq_1q_3}{r_{1}^2}=\frac{Kq_2q_3}{r_{2}^2}$
Possiamo dividere per $Kq_3$ da entrambi i lati dell'equazione
$\frac{q_1}{r_{1}^2}=\frac{q_2}{r_{2}^2}$
Sapendo che la distanza tra la carica 1 e la carica 2 è $d=10m$ possiamo chiamare $x$ la distanza tra la carica 1 e la carica 3 ($r_1=x$) in modo che la distanza tra la carica 2 e la carica 3 sia $r_2=10-x$
$\frac{q_1}{x^2}=\frac{q_2}{(10-x)^2}$
A questo punto basta risolvere l'equazione, applichiamo la moltiplicazione incrociata per togliere i denominatori delle frazioni
$q_1(10-x)^2=q_2x^2$
Sviluppiamo il quadrato di binomio
$100q_1+q_1x^2-20q_1x=q_2x^2$
Raccogliamo tutte le $x^2$ e le $x$ per ottenere un equazione di secondo grado
$x^2(q_1-q_2)-20q_1x+100q_1=0$
Utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
$x=\frac{20q_1\pm \sqrt{400q_{1}^2-400(q_1-q_2)q_1}}{2(q_1-q_2)}$
Semplifichiamo i termini portando fuori 400 dalla radice quadrata e dividendo tutto per il 2 al denominatore
$x=\frac{10q_1\pm 10\sqrt{q_{1}^2-(q_1-q_2)q_1}}{q_1-q_2}$
Semplifichiamo ulteriormente svolgendo il prodotto all'interno della radice
$x=\frac{10q_1\pm 10\sqrt{q_1q_2}}{q_1-q_2}$
Sostituendo i termini otteniamo due valori, uno positivo e uno negativo
$x_1=3,33m$
$x_2=-10m$
Il risultato negativo non ha senso poiché implicherebbe che la carica venga posizionata al di fuori del nostro sistema di riferimento lungo 10 metri su cui sono posizionate le cariche 1 e 2. Quindi l'unico risultato sensato è quello positivo
$x=3,33m$