La sfera si trova in equilibrio, quindi la forza peso e la spinta di Archimede che agiscono sulla sfera devono trovarsi in equilibrio
$P=F_A$
La forza peso è il prodotto tra massa e accelerazione gravitazionale, ma la massa la possiamo scrivere a sua volta come il prodotto tra volume e densità del rame
$mg=F_A$
$d_{Cu}Vg=F_A$
Sostituiamo la forza di Archimede con la sua formula considerando solo il volume immerso
$d_{Cu}Vg=d_{Hg}V_{IM}g$
$d_{Cu}V=d_{Hg}V_{IM}$
Sapendo che il volume emerso è $5/6$ del volume totale, il volume immerso è la parte rimanente, cioè $1/6$ del volume totale
$d_{Cu}V=d_{Hg}\cdot \frac{1}{6}V$
Semplificando entrambi i lati per $V$ otteniamo:
$d_{Cu}=\frac{1}{6}d_{Hg}$
Secondo questa relazione la densità del rame dovrebbe essere $1/6$ della densità del mercurio ma ciò non è vero. Dunque la sfera non è totalmente piena ma presenta una cavità per cui la massa non è il prodotto tra la densità e il volume totale perché bisogna rimuovere anche il volume occupato dalla cavità
$m=d_{Cu}(V-V_{CAV})$