Le palline urtano tra di loro in un piano senza attrito in urti completamente elastici. Per poter ricavare le velocità finali possiamo considerare prima l'urto tra la prima palla e la seconda e dopo l'urto tra la seconda palla e la terza.
URTO TRA PALLA 1 E PALLA 2
Per prima cosa calcoliamo la velocità del centro di massa del sistema dei corpi 1 e 2
$v_{CM12}=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}$
Sostituendo la velocità iniziale della prima palla con 9 e la velocità iniziale della seconda palla con 0 otteniamo:
$v_{CM12}=\frac{9m_1}{m_1+m_2}$
Sapendo che le due masse corrispondono a $m_1=2m$ e $m_2=m$ possiamo semplificarle ottenendo
$v_{CM12}=\frac{18mv}{3m}=\frac{18}{3}=6$ $m/s$
In un urto elastico abbiamo che dopo l'urto la velocità relativa della prima palla rispetto al centro di massa si inverte. Questo avviene perché la prima palla dopo l'urto cambia verso e va verso sinistra, quindi rispetto al centro di massa ha velocità opposta. Questo in formula si può scrivere come
$v_{1f}-v_{CM}=-(v_{1i}-v_{CM})$
L'equazione scritta è una differenza tra velocità. Nel lato sinistro è presente la velocità finale relativa della prima palla rispetto al centro di massa mentre nel secondo la velocità inziale della prima palla rispetto al centro di massa. Il segno meno fuori dalla parentesi indica appunto che la velocità finale della prima palla è opposta a quella inziale.
Da questa equazione ricaviamo la velocità finale della prima palla
$v_{1f}=v_{CM}-v_{1i}+v_{CM}=3$ $m/s$
Ora che abbiamo ricavato la velocità finale possiamo scrivere la velocità finale del centro di massa (in pratica la formula classica del centro di massa con le velocità finali)
$v_{CM12}=\frac{m_1v_{1f}+m_2v_{2f}}{m_1+m_2}$
In assenza di attrito la velocità del centro di massa si conserva e rimane uguale sia prima che dopo l'urto
$6=\frac{m_1v_{1f}+m_2v_{2f}}{m_1+m_2}$
Sostituiamo le due masse con $m_1=2m$ e $m_2=m$ e la velocità finale della prima palla con $v_{1f}=3$ $m/s$
$6=\frac{6m+mv_{2f}}{3m}=\frac{6+v_{2f}}{3}$
Da questa equazione ricaviamo la velocità finale della seconda palla $v_{2f}$
$18=6+v_{2f}$
$v_{2f}=12$ $m/s$
URTO TRA PALLA 2 E PALLA 3
Scriviamo come $v_{2f}=12$ $m/s$ la velocità della seconda palla prima dell'urto e $v_{2f}'$ la velocità della seconda palla dopo l'urto con la terza palla.
Per risolvere questo sistema possiamo utilizzare lo stesso metodo con cui abbiamo risolto il primo. Calcoliamo per prima cosa la velocità del centro di massa con le velocità prima dell'urto.
$v_{CM23}=\frac{m_2v_{2f}+m_3v_{3i}}{m_2+m_3}$
Sostituendo le due masse con $m_2=m$ e $m_3=m$ e le due velocità con $v_{2f}=12$ $m/s$ e $v_{3i}=0$ otteniamo
$v_{CM23}=\frac{12m}{2m}=6$ $m/s$
Anche in questo caso la seconda palla dopo l'urto cambia di verso rispetto al centro di massa perché dopo la collisione va dalla parte opposta rispetto a dove stava andando prima
$v_{2f}'-v_{CM}=-(v_{2f}-v_{CM})$
$v_{2f}'=v_{CM}-v_{2f}+v_{CM}=0$
Quindi abbiamo che la seconda palla si ferma dopo l'urto con la terza. Ora che abbiamo ricavato la velocità della seconda palla dopo l'urto possiamo scrivere la velocità del centro di massa dopo la collisione tra palla 2 e palla 3
$v_{CM}=\frac{m_2v_{2f}'+m_3v_{3f}}{m_2+m_3}$
Sapendo che la velocità del centro di massa è sempre la stessa $v_{CM}=6$ $m/s$, che le due masse valgono $m_1=m$ e $m_2=m$ e che la velocità della terza palla dopo l'urto è nulla $v_{3f}'=0$ possiamo ricavare la velocità finale della terza palla $v_{3f}$
$6=\frac{mv_{3f}}{2m}=\frac{v_{3f}}{2}$
$v_{3f}=12$ $m/s$