Le disequazioni si svolgono con gli stessi passaggi delle equazioni. L'unica differenza è che nelle disequazioni si inverte il segno di disuguaglianza quando:
- Si cambia di segno a tutti e due i lati o si moltiplica per un numero negativo
$ -x<3$
$ x>-3 $
- Si eleva ad un esponente negativo tutti e due i lati (cioè quando si invertono delle frazioni)
$ \frac{1}{x}<\frac{1}{3} $
$ x>3 $
- Esercizio 1
$ x+4>3-x $
- Esercizio 2
$ \sqrt{3}x+5x-3 \geq \sqrt{3} $
- Esercizio 3
$ \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x} - \frac{1}{x} $
- Esercizio 4
$(2x+1)x-(x+2)(x-2) \leq x^2+3x+4$
- Esercizio 5
$ (x+1)(x-1)-(x-1)^2+(2x-3)(x-1) \leq x^2+(x+3)x $
- Esercizio 6
$ (3x+5)x-(x-1)(x-2) \geq (\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1) $
- Esercizio 7
$ \frac{x-1}{2} \cdot \frac{1}{2x-2}\geq 2 $
- Esercizio 8
$ \frac{x^2+5x+6}{x^2-4}+1>\frac{2x-1}{x-2} $
RISULTATI
- Eserczio 1
In questo esercizio basta spostare le $x$ a sinistra e i numeri a destra cambiandoli di segno$ x+x>3-4 $
$ 2x>-1 $
$ x>-\frac{1}{2} $
- Esercizio 2
Siccome $\sqrt{3}$ è irrazionale, raccogliamo x$ (\sqrt{3}+5)x-3 \geq \sqrt{3} $
Ora si sposta il $3$ a sinistra così da avere da un lato solo x e dall'altro solo numeri
$ (\sqrt{3}+5)x \geq \sqrt{3}+3 $
Infine si divide tutto per il numero che moltiplica $x$
$ x \geq \frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+5} $
- Esercizio 3
Per prima cosa, facciamo il minimo comune multiplo a sinistra in modo da unire le frazioni$ \frac{2}{x+3}>\frac{3-1}{x} $
Ora si girano le frazioni cambiando il segno della disequazione
$ \frac{x+3}{2}<\frac{x}{2} $
Siccome i denominatori sono uguali, si possono semplificare ottenendo
$ x+3< x $
Spostando i termini in $x$ da un lato e i numeri dall'altro otteniamo
$ 0x<-3 $
La disequazione è impossibile perché non esiste un numero che, moltiplicato per 0, dia come risultato un numero negativo (questo perché 0 moltiplicato per qualsiasi numero fa semplicemente 0)
- Esercizio 4
Per prima cosa svolgiamo le moltiplicazioni (utilizzando anche i prodotti notevoli nelle disequazioni per velocizzare il procedimento)$ 2x^2+x-(x^2-4)\leq x^2+3x+4$
$x^2+x+4\leq x^2+3x+4$
Ora spostiamo tutti i termini in $x$ a sinistra e tutti i numeri a destra$ x^2+x-x^2-3x \leq 4-4 $
$ -4x\leq 0 $
Per cambiare di segno $x$ dobbiamo cambiare il segno della disequazione ottenendo
$ x\geq 0 $
- Esercizio 5
Svolgiamo i prodotti (utilizzando anche i prodotti notevoli)$ x^2-1-(x^2-2x+1)+2x^2-2x-3x+3 \leq x^2+x^2+3x $
Togliamo le parentesi per poi semplificare
$ x^2-1-x^2+2x-1+2x^2-2x-3x+3 \leq 2x^2+3x $
$ 2x^2-3x+1 \leq 2x^2+3x $
Ora spostiamo tutti i termini in $x$ a sinistra e tutti i numeri a destra
$ 2x^2-3x+1-2x^2-3x \leq -1 $
$ -6x \leq -1 $
$ -x \leq -\frac{1}{6} $
Per cambiare di segno a $x$, cambiamo il segno della disequazione
$ x \geq \frac{1}{6} $
- Esercizio 6
Svolgiamo i prodotti$ 3x^2+5x-(x^2-2x-x+2)\geq 2x^2-1 $
Togliamo le parentesi e semplifichiamo i termini simili
$ 3x^2+5x-x^2+2x+x-2\geq 2x^2-1 $
$ 2x^2+8x-2\geq 2x^2-1 $
Ora spostiamo a sinistra tutti i termini in $x$ e a destra i numeri
$ 2x^2+8x-2x^2\geq -1+2 $
$ 8x\geq 1 $
$ x\geq \frac{1}{8} $
- Esercizio 7
Tra due frazioni si moltiplicano tra di loro i denominatori e i numeratori$ \frac{x-1}{2(2x-2)}\geq 2 $
Svolgiamo il prodotto al denominatore
$ \frac{x-1}{4x-4}\geq 2 $
A questo punto basta moltiplicare entrambi i membri per il denominatore della frazione in modo da toglierlo
$ (4x-4)\cdot \frac{x-1}{4x-4}\geq 2 \cdot (4x-4) $
$ x-1\geq 2(4x-4) $
$ x-1\geq 8x-8 $
Infine spostiamo i termini con $x$ a destra e i numeri a sinistra
$ x-8x\geq -8-1 $
$ -7x\geq -9 $
Per cambiare il segno di $x$ cambiamo il segno della disequazione
$ 7x\leq 9 $
$ x\leq \frac{9}{7} $
- Esercizio 8
Per prima cosa scomponiamo i polinomi. Al nominatore della frazione a sinistra è presente un trinomio speciale che si può scomporre in questo modo:$ x^2+5x+6=(x+3)(x+2) $
E il denominatore della frazione a sinistra è una differenza di quadrati
$ x^2-4=(x-2)(x+2) $
In questo modo la disequazione diventa
$ \frac{(x+3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}+1>\frac{2x-1}{x-2} $
I denominatori delle due frazioni devono essere diversi da 0, quindi $x-2$ e $x+2$ devono essere diversi da 0.
Ora che abbiamo posto le condizioni di esistenza possiamo fare il minimo comune multiplo tra la frazione di sinistra e 1$ \frac{(x+3)(x+2)+(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}>\frac{2x-1}{x-2} $
E possiamo semplificare $x-2$ che è presente in entrambi i denominatori
$ \frac{(x+3)(x+2)+(x-2)(x+2)}{x+2}>2x-1 $
Ora moltiplichiamo entrambi i lati per il denominatore $x+2$ in modo da rimuovere la frazione
$ (x+2)\cdot \frac{(x+3)(x+2)+(x-2)(x+2)}{x+2}>(2x-1)(x+2) $
$ (x+3)(x+2)+(x-2)(x+2)>(2x-1)(x+2) $
Svolgiamo i prodotti e semplifichiamo i termini simili
$ x^2+2x+3x+6+x^2-4>2x^2+4x-x-2 $
$ 2x^2+5x+2>2x^2+3x-2 $
Ora spostiamo tutti i termini con $x$ a sinistra e tutti i numeri a destra
$ 2x^2+5x-2x^2-3x>-2-2 $
$ 2x>-4 $
$ x>-2 $