Studio di funzione completo

Affinchè lo studio non risulti caotico e disordinato, bisogna seguire una scaletta ben precisa:

• CLASSIFICARE LA FUNZIONE: (inserire grafico della classificazione);

INFORMAZIONI DI BASE

• TROVARNE IL DOMINIO:
  A seconda dell'espressione analitica della funzione, questa potrebbe non essere definita in alcuni punti dell'asse reale. Il dominio è l'insieme più ampio nel quale la funzione è definita.
  Per esempio, il dominio della funzione 1/x è x ≠ 0, perché la divisione per 0 non è definita.
  Oppure se si ha un'espressione all'interno di una radice quadrata, il radicando deve essere >=0. SE il dominio è simmetrico rispetto a 0, allora la funzione potrebbe essere PARI (f(-x) = f(x)) o DISPARI (f(-x) = -f(x)). Altrimenti è sicuramente nè pari nè dispari.
  Se una funzione è pari, essa è simmetrica rispetto all'asse y (ad esempio y=x^2 è pari); se invece è dispari è simmetrica rispetto all'origine (ad esempio y=sin x, y=x, y=x^3);SE la funzione è goniometrica, bisogna calcolarne il PERIODO. Anche questa informazione permette di ridurre l'intervallo di studio. Se una funzione è periodica con periodo π, allora in ogni intervallo di quella lunghezza, il suo grafico sarà uguale ([-π,0], [-π/2,π/2], [0,π]). Quindi è necessario studiare la funzione solo in uno di questi intervalli. Combinando questo risultato con l'eventuale parità della funzione si possono risparmiare tempo e calcoli!
• INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
  Concettualmente bisogna mettere a sistema l'espressione analitica della funzione prima con l'equazione di uno dei due assi e poi con l'altra; per ottenere le intersezioni con l'asse x (ricordiamo di equazione y=0), basta imporre dunque che f(x)=0 e, se possibile, risolvere l'equazione, trovando dunque gli zeri della funzione; per ottenere quelle con l'asse y (equazione x=0), basta calcolare f(0). ATTENZIONE: CIÒ È POSSIBILE SOLO SE 0 RIENTRA NEL DOMINIO: presa infatti la funzione f(x)=1/x, non si può calcolare f(0); questo significa che la funzione non interseca mai l'asse y.Se l'equazione f(x) = 0 è irrisolvibile in maniera esatta, i teoremi dell'analisi possono aiutarci a determinare l'esistenza e l'unicità degli zeri; inoltre il metodo di Newton-Raphson può servire per calcolare degli zeri approssimati.
• SEGNO DELLA FUNZIONE:
  Bisogna semplicemente risolvere la disequazione f(x)>0. In questo modo si trovano i punti in cui la funzione è positiva e i punti in cui la funzione è negativa.
  Molto spesso si può evitare lo studio del segno approfittando delle altre caratteristiche della funzione che otterremo dai passi successivi.

CONTINUITA' E DERIVATE

• CONTINUITÀ E ASINTOTI:
  Determinato il dominio, si studiano eventuali punti di discontinuità all'interno di esso e singolarità ai suoi estremi, classificandole tramite il calcolo dei limiti.
  (fare un articolo a parte su asintoti e discontinuità?)
• DERIVABILITÀ, STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA
  Determinato l'insieme di continuità, si calcola la derivata prima della funzione e si studia il suo dominio, classificando eventuali punti di non derivabilità (punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale).
  Si trovano i punti stazionari della funzione (cioè quei punti per i quali f'(x) = 0) e si classificano o studiando il segno della derivata prima (ovvero risolvendo la disequazione f'(x)>0). Oppure con il metodo delle derivate successive, ma per il momento ci soffermiamo sul primo.
  Il segno della derivata ci da informazioni sulla monotonia della funzione: negli intervalli in cui è positiva, la funzione è crescente; altrimenti è decrescente. Se la derivata cambia segno quando passa per un punto stazionario, allora quel punto è di massimo relativo (prima positiva, poi negativa) o di minimo relativo (prima negativa, poi positiva); altrimenti è un punto di flesso a tangente orizzontale.
  

• STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA
  Trovati massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale, si calcola la derivata seconda e si studia nel suo dominio. Si trovano i possibili flessi (punti per i quali f''(x)=0). Dopo si classificano o studiando il segno della derivata seconda o, di nuovo, con il metodo delle derivate successive.
  Il segno della derivata seconda offre informazioni sulla concavità della funzione: dove è positiva, essa è convessa (rivolta verso l'alto), altrimenti è concava (verso il basso).
  Per classificare i flessi bisogna calcolare la derivata prima nei punti flessi. Sia x il punto di flesso: se f'(x) = 0, è un flesso orizzontale; se f'(x) = m, m ≠ 0, è un flesso obliquo; se f'(x) -> ∞ è un flesso obliquo.
  Nel caso in cui il valore della derivata sia un numero finito, si trova la tangente inflessionale, cioè la retta tangente alla funzione nel punto di flesso. Il concetto di tangente inflessionale è quello di una retta alla quale la funzione si avvicina fino ad'appoggiarsi ad essa e superarla.

• DISEGNO DEL GRAFICO
  Ora si possiedono tutti gli strumenti necessari per potere disegnare il grafico.