Una base è considerata discreta se il prodotto scalare tra un bra e un ket della base dà come risultato una delta (cioè il prodotto viene 0 se sono diversi e viene 1 se sono uguali):
Quindi, per una base discreta, vale anche la seguente chiusura a 1:
Una base è detta continua se il prodotto scalare di un bra e di un ket dà come risultato una delta di Dirac
In cui la Delta di Dirac è una funzione che agisce sotto forma di integrale
In cui K è il vettore d’onda K = 2π
Inoltre, per le basi continue, vale anche la seguente chiusura a 1:
Per poter capire se due ket o bra appartengono ad una base continua o discreta bisogna prima sapere l’equazione della funzione d’onda.
Esempio: una funzione d’onda nello spazio delle x è la seguente
In questo modo possiamo scrivere il prodotto scalare tra k e x così:
Se vogliamo sapere se x appartiene ad una base discreta o continua dobbiamo inizialmente “fare finta” che k sia continua per poter aggiungere la chiusura a 1 di k
In questo modo possiamo riscrivere l’integrale usando i prodotti scalari di x e k che abbiamo scritto in precedenza
Se si confronta questo integrale con la definizione di delta di Dirac otteniamo alla fine che x appartiene ad una base continua.