Circuiti in corrente alternata
Nei circuiti in corrente alternata, tensione e corrente variano nel tempo in modo sinusoidale.
Il punto chiave è questo:
non possiamo più usare solo “V = RI” come relazione fissa, perché le grandezze cambiano nel tempo.
Per questo motivo entrano in gioco:
- derivate (induttori)
- integrali (condensatori)
- sfasamenti (RLC)
1. Corrente alternata e fem
Una corrente alternata nasce quando un flusso magnetico cambia nel tempo.
Questo succede ad esempio quando una spira ruota in un campo magnetico.
Il flusso magnetico attraverso una spira è:
$$\Phi(t)=NAB\cos(\omega t)$$
La legge di Faraday dice che la fem indotta è proporzionale alla variazione del flusso nel tempo:
$$\varepsilon(t)=-\frac{d\Phi}{dt}$$
Per trovare la fem dobbiamo capire come varia il coseno nel tempo.
Quando deriviamo una funzione coseno, otteniamo un seno con un fattore ω che rappresenta “quanto velocemente” oscilla.
Quindi la derivata del flusso diventa:
$$\varepsilon(t)=NAB\omega\sin(\omega t)$$
Questa espressione ci dice che la fem non è costante, ma oscilla nel tempo con forma sinusoidale.
Quindi:
$$\varepsilon(t)=\varepsilon_0\sin(\omega t)$$
con:
$$\varepsilon_0=NAB\omega$$
La rotazione meccanica produce naturalmente una tensione alternata sinusoidale.
2. Circuito puramente ohmico
Nel resistore non c’è accumulo di energia: la corrente segue istantaneamente la tensione.
La legge di Ohm vale in ogni istante:
$$v(t)=Ri(t)$$
Se applichiamo una tensione sinusoidale:
$$v(t)=V_0\sin(\omega t)$$
Poiché la tensione e la corrente sono legate direttamente da una proporzione istantanea, basta dividere la tensione per R.
Questo significa che la forma della corrente non cambia, cambia solo l’ampiezza:
$$i(t)=\frac{V_0}{R}\sin(\omega t)$$
Corrente e tensione oscillano insieme e non c’è ritardo.
3. Circuito induttivo
L’induttore si oppone ai cambiamenti di corrente.
Questo significa che non reagisce alla corrente in sé, ma a quanto velocemente cambia nel tempo.
La relazione fondamentale è:
$$v(t)=L\frac{di}{dt}$$
Se la tensione è sinusoidale:
$$v(t)=V_0\sin(\omega t)$$
Questa equazione ci dice che la derivata della corrente deve essere una sinusoide.
Per trovare la corrente dobbiamo quindi integrare.
Quando integriamo una sinusoide, otteniamo ancora una sinusoide ma sfasata.
Questo porta al risultato:
$$i(t)=\frac{V_0}{\omega L}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$$
La corrente ha stessa frequenza ma arriva in ritardo di un quarto di periodo.
4. Circuito capacitivo
Nel condensatore la corrente esiste solo quando la tensione cambia.
Partiamo da:
$$q=CV$$
e dalla definizione di corrente:
$$i=\frac{dq}{dt}$$
Sostituendo si ottiene:
$$i(t)=C\frac{dv}{dt}$$
Se la tensione è:
$$v(t)=V_0\sin(\omega t)$$
Ora dobbiamo derivare la tensione.
La derivata del seno produce un coseno, cioè una sinusoide spostata in avanti nel tempo.
Quindi:
$$i(t)=\omega C V_0\cos(\omega t)$$
Riscrivendo:
$$i(t)=\omega C V_0\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$$
La corrente anticipa la tensione.
5. Circuito RLC
Nel circuito RLC la tensione applicata è sinusoidale, quindi in regime stazionario anche la corrente deve essere sinusoidale.
Per prima cosa bisogna scrivere la forma generale della corrente:
$$i(t)=I_0\sin(\omega t-\varphi)$$
Questa forma deriva dal fatto che il sistema è lineare e forzato da una sinusoide.
Le ampiezze delle tensioni sono:
$$V_R=I_0 R$$
$$V_L=I_0 \omega L$$
$$V_C=\frac{I_0}{\omega C}$$
Le componenti induttiva e capacitiva si oppongono:
$$I_0\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$$
La tensione totale è:
$$V_0^2=(I_0R)^2+\left[I_0\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right]^2$$
Da cui:
$$Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}$$
$$i(t)=\frac{V_0}{Z}\sin(\omega t-\varphi)$$
Lo sfasamento è:
$$\tan\varphi=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$$
6. Potenza in corrente alternata
La potenza istantanea in un circuito è definita come:
$$p(t)=v(t)\cdot i(t)$$
Se tensione e corrente sono sinusoidali:
$$v(t)=V_0\sin(\omega t)$$
$$i(t)=I_0\sin(\omega t-\varphi)$$
allora la potenza diventa il prodotto di due seni:
$$p(t)=V_0 I_0 \sin(\omega t)\sin(\omega t-\varphi)$$
Per semplificare questo prodotto si usa un’identità trigonometrica fondamentale:
$$\sin A \sin B = \frac{1}{2}\big[\cos(A-B)-\cos(A+B)\big]$$
Applicandola con A = ωt e B = ωt − φ, otteniamo:
$$p(t)=\frac{V_0 I_0}{2}\big[\cos\varphi - \cos(2\omega t - \varphi)\big]$$
Questa espressione è molto importante perché separa la potenza in due parti:
- una parte costante: $$\frac{V_0 I_0}{2}\cos\varphi$$
- una parte oscillante: $$\cos(2\omega t - \varphi)$$
La parte costante rappresenta l’energia realmente trasferita al circuito.
La parte oscillante rappresenta energia che viene continuamente scambiata tra generatore e componenti (induttore e condensatore).
Ora dobbiamo capire perché, facendo la media nel tempo, la parte oscillante sparisce.
La funzione:
$$\cos(2\omega t - \varphi)$$
è una funzione periodica che oscilla tra +1 e −1.
Se consideriamo un periodo completo, la funzione passa tanto tempo sopra lo zero quanto sotto lo zero.
Matematicamente, la media di una funzione periodica su un periodo T è:
$$\langle f \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt$$
Applicando questa definizione al coseno:
$$\frac{1}{T}\int_0^T \cos(2\omega t - \varphi)\,dt = 0$$
Questo accade perché le aree positive e negative si compensano esattamente.
Quindi, facendo la media della potenza:
$$P=\frac{V_0 I_0}{2}\cos\varphi$$
Usando i valori efficaci:
$$P=V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos\varphi$$
Interpretazione fisica:
solo la parte in fase tra corrente e tensione trasferisce energia in modo permanente.
La parte sfasata non produce consumo netto, ma solo scambio di energia.